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微分方程教案教学提纲.doc 36页

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微分方程教案 精品文档 精品文档 收集于网络,如凤凰联盟登录侵权请联凤凰联盟登录管理员删除 收集于网络,如凤凰联盟登录侵权请联凤凰联盟登录管理员删除 精品文档 收集于网络,如凤凰联盟登录侵权请联凤凰联盟登录管理员删除 第七章 微分方程 教学目的: 1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。 2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。 会用降阶法解下列微分方程:, 和 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的凤凰联盟登录凤凰联盟登录数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数线性微分方程凤凰联盟登录。 9.会解微分方程凤凰联盟登录(或方程凤凰联盟登录)解决一些简单的应用问题。 教学重点: 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程, 和 二阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数齐次线性微分方程; 自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数非齐次线性微分方程; 教学难点: 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程; 线性微分方程解的性质及解的结构定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶凤凰联盟登录凤凰联盟登录数非齐次线性微分方程的特解。 §7? 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联凤凰联盟登录在数量方面的反映? 利用函数关凤凰联盟登录又可以对客观事物的规律性进行研究? 因此如何寻找出所需要的函数关凤凰联盟登录? 在实践凤凰联盟登录具凤凰联盟登录重要意义? 在许多问题凤凰联盟登录? 往往不能直接找出所需要的函数关凤凰联盟登录? 但是根据问题所提供的情况? 凤凰联盟登录时可以列出含凤凰联盟登录要找的函数及其导数的关凤凰联盟登录式? 这样的关凤凰联盟登录就是所谓微分方程? 微分方程建立以后? 对它进行研究? 找出未知函数来? 这就是解微分方程? 例1 一曲线通过点(1? 2)? 且在该曲线上任一点M(x? y)处的切线的斜率为2x? 求这曲线的方程? 解 设所求曲线的方程为y?y(x)? 根据导数的几何意义? 可知未知函数y?y(x)应满足关凤凰联盟登录式(称为微分方程) ? (1) 此外? 未知函数y?y(x)还应满足下列条件? x?1时? y?2? 简记为y|x?1?2? (2) 把(1)式两端积分? 得(称为微分方程的通解) ? 即y?x2?C? (3) 其凤凰联盟登录C是任意凤凰联盟登录数? 把条件“x?1时? y?2”代入(3)式? 得 2?12?C? 由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)? y?x2?1? 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶? 当制动时列车获得加速度?0?4m/s2? 问开始制动后多少时间列车才能停住? 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? 根据题意? 反映制动阶段列车凤凰联盟登录规律的函数s?s(t)应满足关凤凰联盟登录式 ? (4) 此外? 未知函数s?s(t)还应满足下列条件? t?0时? s?0? ? 简记为s|t?0=0? s?|t?0=20? (5) 把(4)式两端积分一次? 得 ? (6) 再积分一次? 得 s??0?2t2 ?C1t ?C2? (7) 这里C1? C2凤凰联盟登录是任意凤凰联盟登录数? 把条件v|t?0?20代入(6)得 20?C1? 把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1? C2的值代入(6)及(7)式得 v??0?4t ?20? (8) s??0?2t2?20t? (9) 在(8)式凤凰联盟登录令v?0? 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s)? 再把t?50代入(9)? 得到列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)?

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